Historical working material
This hub preserves working material from 2025. Its Core and Stable badges describe that historical draft and do not certify the current formulation or computational performance. Some sections retain their original language.
See the current binary radial formulation.
GRG — Formalisation Hub
Il raggio è l’unica costante. La circonferenza e le superfici emergono dalla sua rotazione. GRG studia la geometria generata radialmente, in unità di turns (frazioni di giro intero) — niente gradi, niente π.
- Principio: il raggio genera il punto, il percorso del raggio genera la circonferenza, la rotazione del raggio determina l’area.
- Metodo: blocchi indipendenti. Aggiungiamo capitoli senza riscrivere i precedenti.
Blocchi GRG
Radial (Turns/BFT) — prodotti puri
Angoli in turns (anche binari k/2B). Perimetro = N×corda; Area = N×triangolo dal centro. Formula compatta, pronta per DSP/quantistico.
- Circ.: C = 2·N·r·s(1/(2N))
- Area: A = ½·N·r²·s(1/N)
Δx Trapezoids — sotto arco
Quarter → Δx uniformi → trapezi sotto l’arco (monotono). Convergenza ~ O(N⁻²).
- Setup: Δx = r/N
- Area quarter: Σ (Δx/2)·(yk+yk+1) → ×4
Original Projection — midpoint/right
Metodo originario GRG: proiezione delle altezze sul quarto; rettangoli al punto medio (sopra) e all’estremo destro (sotto) → corridoio discreto.
- Quarter midpoint: Σ y(xk+½)·Δx → ×4 (sopra)
- Quarter right: Σ y(xk+1)·Δx → ×4 (sotto)
Perché “Radius-First”
In GRG non assumiamo la circonferenza: la deriviamo dal percorso del raggio. Studiando il raggio (direzione, partizioni angolari, passo radiale) controlliamo direttamente precisione e stabilità; il perimetro e l’area seguono come conseguenze costruttive.
Aggiungere nuovi blocchi
Ogni nuova idea vive in una pagina autonoma (“blocco”) con badge di stato: Core, Stable, Research. Si linka da qui senza modificare i blocchi esistenti.
GRG — Radius-First Geometry
The radius is the only constant. The circumference is the path of the radius,
and the area is the surface swept by its rotation. GRG works in turns (fractions of a full rotation):
no sexagesimal units and no external constants in primary formulas.
- Methods as blocks: Original · Trapezoidal · Radial (Core).
- Few pages: one page per application, methods as anchored sections.
Circle — Methods
Radius-first: choose the quantity (Perimeter or Area), then the method.
Perimeter
Radial Core
Equal-angle chords (turns). Product-only.
C = 2·N·r·s(1/(2N))
Δx Trapezoidal Stable
Quarter arc approximated by trapezoids; monotone convergence.
Original Projection Research
Historical chord/tangent corridor on a quadrant.
Area
Radial Core
Equal-angle sectors (turns). Product-only.
A = ½·N·r²·s(1/N)
Δx Trapezoidal Stable
Quarter partition, Δx uniform; trapezoids strictly under the arc (O(N⁻²)), then ×4.
Original Projection Research
Midpoint rectangles on a quadrant (upper) with right-endpoint (lower); discrete corridor shrinks with N.
Quarter setup: Δx = r/N, x_{k+½} = (k+½)Δx, y(x) = √(r² − x²)
A_mid^(q) = Σ y(x_{k+½})·Δx → A_mid = 4·A_mid^(q) (upper)
A_right^(q) = Σ y((k+1)Δx)·Δx → A_right = 4·A_right^(q) (lower)
GRG Formal Specification — Core (Turns)
Angles in turns. 2D is product-only: perimeter by equal-angle chords, area by equal-angle sectors. No sexagesimal units.